题目内容
【题目】已知函数
，
，
.
（1）求函数
的极值；
（2）若函数
有两个零点，求实数
取值范围；
（3）若当
时，
恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）极小值
，没有极大值； （2）
； （3）2 .
【解析】
（1）直接进行求导，根据导数与原函数的关系进行极值求解
（2）由于参数
的存在，故需对进行分类讨论，
时与题意不符，舍去，对
进行导数求解，通过增减性进行辨析，当
时取到极大值，此时需要判断函数在的左右两侧存在函数值小于零的点，进而得证
（3）令
，先求导，再根据恒成立问题求解参数
（1）
，令
，得
，
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| 极小值 |
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所以
有极小值，没有极大值；
（2）
，
①时，
，在
单调递增，此时
至多有一个零点，这与题意不符；
②，令
，得，
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| 极大值 |
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因为函数有两个零点，所以
，得，
，
，又在
上单调，且图象连续不间断，所以在上有一个零点；
，
，所以
在
单调减，所以
，
所以，
，
，又在
上单调，且图象连续不间断，所以在上有一个零点；
综上，实数取值范围为；
（3）记
，令
，
所以，
，
①
时，
，
在
上单调增，所以
，符合题意；
②
时，
，
，又
在上单调增，
所以，
，使得
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| 极小值 |
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则当
时，
，这与恒成立不符，
综上，实数的最大值为2.
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