Question

已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆+=1（（a＞b＞0）的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x²+y²=4截得的弦长为d、
（1）若d=2，求k的值；
（2）若d≥，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

解：（1）取弦的中点为M，连接OM由平面几何知识，OM=1，
OM==1．
解得k²=3，k=±．
∵直线过F、B，∴k＞0，
则k=．
（2）设弦的中点为M，连接OM，
则OM²=，
d²=4（4-）≥（）²，
解得k²≥．
e²=，
∴0＜e≤．
分析：（1）若d=2，求k，先有平面几何的知识求出点O到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，如此得方程．
（2）用斜率k表示出弦长d，代入d≥，解出k的范围，将离心率用k表示出来，利用单调性求出离心率的范围，
点评：考查直线与圆，与圆锥曲线的位置关系，本题的解题特点是把位置关系转化为方程或方程组，这是此类题的常见方式．