Question

已知直线l：y=kx+k+1，抛物线C：y²=4x，定点M（1，1）．
（I）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（II）当k（k≠0）变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线l的对称点为Q（x₀，y₀），求x₀关于k的函数关系式x₀=f（k）；若P与M重合时，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据抛物线方程可求得焦点坐标，代入直线方程求得k，设点N（m，n）根据M与N的对称性联立方程，求得m和n，可得N的坐标，把N的坐标代入抛物线方程，结果等式不成立，进而可判断点N不在抛物线C上．
（2）直线方程与抛物线方程联立消去x，根据判别式大于等于0，求得k的范围，根据P，Q的对称联立方程求得x₀的表达式，根据P与M重合时a=1，根据函数f（x）的单调性和奇偶性求得x₀的范围．

解答：解：（I）由焦点F（1，0）在l上，得k=-

1

2

，∴l：y=-

1

2

x+

1

2

设点N（m，n）则有：

( n-1 m-1 )(- 1 2 )=-1 m+1 2 +2 n+1 2 =1

，
解得

m= 1 5 n=- 3 5

，
∴N(

1

5

，-

3

5

)
∵

4

5

≠(-

3

5

)2，
N点不在抛物线C上．
（2）把直线方程x=

y

k

-

1

k

-1(k≠0)代入抛物线方程得：ky²-4y+4k+4=0，
∵相交，∴△=16（-k²-k+1）≥0，
解得

-1- 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

且k≠0.
由对称得

y0-1 x0-a •k=-1 y0+1 2 =k x0+a 2 +k+1

解得x0=

a(1-k2)-2k2

k2+1

(-

1+ 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

，且k≠0)．
当P与M重合时，a=1
∴f(k)=x0=

1-3k2

k2+1

=-3+

4

k2+1

(-

1+ 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

，且k≠0)，
∵函数x₀=f（x）（k∈R）是偶函数，且k＞0时单调递减．
∴当k=

-1- 5

2

时，(x0)min=-

5+2 5

5

，

lim

k→0

x0=1，x0∈[-

5+2 5

5

，1)

点评：本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．此类题是高考常考类型，平时应加强练习．