Question

设椭圆M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

7

4

，点A（0，a），B（-b，0），C（0，-a），原点O到直线AB的距离为

12

5

，点P在椭圆M上（与A，C均不重合），点D在直线PC上，若直线PA的方程为x=my-4，且

PC

•

BD

=0．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求直线BD的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

7

16

，得a=

4

3

b．由点A（0，a），B（-b，0），知直线AB的方程为4x-3y+4b=0，由原点O到直线AB的距离

|0+0+4b|

42+(-3)2

=

4b

5

=

12

5

，知b=3，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由A（0，4），B（-3，0），直线l_PA：x=my-4，知m=1，即l_PA：x-y+4=0，设P（x₀，y₀），则x₀²=

144-9 y 2 0

16

=

9

16

（16-y₀²），k_PC•k_PA=

y0+4

x0

×

y0-4

x0

=

y 2 0 -16

x 2 0

=

y 2 0 -16

9 16 (16- y 2 0 )

=-

16

9

．由此入手能够求出直线BD的方程．

解答：解：（Ⅰ）由e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

7

16

，得a=

4

3

b（2分）
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为

x

-b

+

y

a

=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离

|0+0+4b|

42+(-3)2

=

4b

5

=

12

5

，∴b=3，（4分）
∴b²=9，a²=16
从而椭圆M的方程为：

y2

16

+

x2

9

=1．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（0，4），B（-3，0），而直线l_PA：x=my-4，∴4m-4=0，?m=1，
即l_PA：x-y+4=0，（6分）
设P（x₀，y₀），则

y 2 0

16

+

x 2 0

9

=1，∴x₀²=

144-9 y 2 0

16

=

9

16

（16-y₀²）
k_PC•k_PA=

y0+4

x0

×

y0-4

x0

=

y 2 0 -16

x 2 0

=

y 2 0 -16

9 16 (16- y 2 0 )

=-

16

9

∴k_PC=-

16

9kPA

=--

16

9

，（9分）
∵

PC

•

BD

=0，∴k_PCk_BD=-1，即k_BD=-

1

kPC

=

9

16

，（11分）
又B（-3，0），∴直线BD的方程为y=

9

16

（x+3）即9x-16y+27=0（12分）
注：本问也可先求出P点坐标，再求直线方程．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理进行等价转化．