题目内容

精英家教网设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
7
4
，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为
12
5
，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且
PC
⊥
PD
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证：直线l的横截距n为定值．
分析：（Ⅰ）由e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
=
7
16
，得a=
4
3
b，由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为
x
-b
+
y
a
=1，再由点O到直线AB的距离
|0+0+4b|
|
42+32
=
4
5
b=
12
5
，知b=3，由此能够得到椭圆M的方程．
（Ⅱ）P（3，0），设C（x1，y1），（x2，y2），将x=my+n代入
y2
16
+
x2
9
=1，得（16m2+9）y2+32mny+16n2-144=0，则y1+y2=
-32mn
16m2+9
，y1y2=
16n2-144
16m2+9
．由
PC
•
PD
=0，知（x1-3）•（x2-3）+y1y2=0，由x1=my1+nn，x2=my2+nn，知（my1+n-3）•（my2+n-3）+y1y2=0，由此能够证明直线l的横截距n为定值．
解答：解：（Ⅰ）由e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
=
7
16
，得a=
4
3
b （2分）
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为
x
-b
+
y
a
=1，即lAB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离
|0+0+4b|
|
42+32
=
4
5
b=
12
5
，∴b=3，（4分）
∴b2=9，a2=16
从而椭圆M的方程为：
y2
16
+
x2
9
=1．（5分）
（Ⅱ）易知P（3，0），设C（x1，y1），（x2，y2），将x=my+n代入
y2
16
+
x2
9
=1化简整理得
（16m2+9）y2+32mny+16n2-144=0
则y1+y2=
-32mn
16m2+9
，y1y2=
16n2-144
16m2+9
．（8分）
而
PC
•
PD
=0?（x1-3，y1）•（x2-3，y2）=0即（x1-3）•（x2-3）+y1y2=0
又x1=my1+nn，x2=my2+nn
∴（my1+n-3）•（my2+n-3）+y1y2=0，
整理得（m2+1）y1y2+m（n-3）（y1+y2）+（n-3）2=0 （10分）
即（m2+1）×
16n2-144
16m2+9
+m（n-3）×
-32mn
16m2+9
+（n-3）2=0
易知n≠3，∴16（m2+1）（n+3）-32m2n+（16m2+9）（n-3）=0
展开得25n+21=0?n=-
21
25

∴直线l的横截距n为定值 （12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线l的横截距n为定值的证明，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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精英家教网设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
7
4
，点A（0，a），B（-b，0），C（0，-a），原点O到直线AB的距离为
12
5
，点P在椭圆M上（与A，C均不重合），点D在直线PC上，若直线PA的方程为x=my-4，且
PC
•
BD
=0．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求直线BD的方程．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，
2
)，求△PAB面积的最大值．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(1，
2
)，其离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ） 直线l：y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为
2
，求m的值．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，
2
)，求△PAB面积的最大值．

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