题目内容

已知向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，并且满足关系：|k
a
+
b
|  =
3
|
a
-k
b
|  (k＞0)，则
a
与
b
的夹角最大值为（　　）
分析：通过|
a
|=|
b
|=1且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，两边平方化简可得化简可得数量积的表达式，设
a
与
b
夹角为θ，根据向量的夹角公式可得cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
，得到关于k的表达式，利用二次函数的性质可求．
解答：解：由题意，|
a
|=|
b
|=1且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，
所以(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2，
化简可得4k
a
•
b
=k2+1，
∴
a
•
b
=
k2+1
4k
(k＞0)；
设
a
与
b
夹角为θ，
则cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
k2+1
4k
=
k
4
+
1
4k
=(
k
2
)2+(
1
2
k
)2
=(
k
2
-
1
2
k
)2+
1
2
≥
1
2

因此，当且仅当
k
2
=
1
2
k
即k=1时，cosθ有最小值为
1
2
，
此时，向量
a
与
b
的夹角有最大值为60°．
点评：本题考查了平面向量的数量积的性质：|
a
|=
a
2
，考查了向量的夹角公式与二次函数的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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