Question

（本小题12分）

     如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=2CD=2，PB=PC，

侧面底面ABCD，O是BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABCD；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若二面角D—PA—O的余弦值为，求PB的长．

Answer 1

（本小题12分）

     如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=2CD=2，PB=PC，

侧面底面ABCD，O是BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABCD；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若二面角D—PA—O的余弦值为，求PB的长．

（Ⅰ）证明：因为，是的中点，

所以，

又侧面PBC⊥底面ABCD，平面，

面PBC底面ABCD，

所以平面．     

（Ⅱ）证明：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，

     设,则，，

，

      因为，所以，

       即．                            

（Ⅲ）解：设平面和平面的法向量分别为，

 注意到，，，

 由 ，令得，，

 由令得，，

  所以，

解之得，所以为所求．