Question

如图，已知在坐标平面xOy内，M、N是x轴上关于原点O对称的两点，P是上半平面内一点，△PMN的面积为，点A的坐标为(1+)，=m· (m为常数)，.

(1)求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；

(2)过点B(-1，0)的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x=-4于点E，点B、E分的比分别为λ₁、λ₂,求证：λ₁+λ₂=0.

Answer 1

解：(1)设M(-c,0),N(c,0)(c＞0),P(x₀,y₀),则=(2c,0)·(x₀,y₀)=2cx₀,

2cx₀=2c,故x₀=1.                                                                    ①

又∵S_△PMN= (2c)|y₀|=,y₀=.                                      ②

∵=(x₀+c,y₀), =(1+),由已知(x₀+c,y₀)=m(1+),即.

故(x₀+c)=(1+)y₀.                                                      ③

将①②代入③，(1+c)=(1+)·,c²+c-(3+)=0,(c-)(c++1)=0,

∴c=,y₀=.                                                            

设椭圆方程为=1(a＞b＞0).

∵a²=b²+3,P(1,)在椭圆上，

∴=1.故b²=1,a²=4.

∴椭圆方程为+y²=1.                                                      

(2)①当l的斜率不存在时，l与x=-4无交点，不合题意.

②当l的斜率存在时，设l方程为y=k(x+1)，

代入椭圆方程+y²=1,

化简得(4k²+1)x²+8k²x+4k²-4=0.                                                 

设点C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)，则

∵-1=，

∴λ₁=.                                              

λ₁+λ₂=［2x₁x₂+5(x₁+x₂)+8］,

而2x₁x₂+5(x₁+x₂)+8=2·+5·(8k²-8-40k²+32k²+8)=0,

∴λ₁+λ₂=0.