Question

如图，已知在坐标平面内，M、N是x轴上关于原点O对称的两点，P是上半平面内一点，△PMN的面积为

3

2

，点A坐标为(1+

3

，

3

2

)，

MP

=m•

OA

(m为常数)，

MN

•

OP

=|

MN

|．
（Ⅰ）求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x=-4于点E，点B、E分

CD

的比分别为λ1、λ₂，求证：λ₁+λ₂=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（-c，0），N（c，0）（c＞0），P（x₀，y₀），则

MN

•

OP

=(2c，0)•(x0，y0)=2cx0，2cx₀=2c，故x₀=1.S△PMN=

1

2

(2c)|y0|=

3

2

，y0=

3

2c

．

MP

=(x0+c，y0)，

OA

=(1+

3

，

3

2

)，由

x0+c

1+ 3

=m=

y0

3 2

，故

3

2

(x0+c)=(1+

3

)y0．由此入手能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当l的斜率不存在时，l与x=-4无交点，不合题意．当l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），代入椭圆方程

x2

4

+y2=1，化简得：（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．设点C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：（Ⅰ）设M（-c，0），N（c，0）（c＞0），P（x₀，y₀），
则

MN

•

OP

=(2c，0)•(x0，y0)=2cx0，2cx₀=2c，故x₀=1．①
又∵S△PMN=

1

2

(2c)|y0|=

3

2

，y0=

3

2c

．②
∵

MP

=(x0+c，y0)，

OA

=(1+

3

，

3

2

)，
由已知(x0+c，y0)=m(1+

3

，

3

2

)，
即

x0+c

1+ 3

=m=

y0

3 2

，故

3

2

(x0+c)=(1+

3

)y0．③
将①②代入③，

3

2

(1+c)=(1+

3

)•

3

2c

，c2+c-(3+

3

)=0，(c-

3

)(c+

3

+1)=0，
∴c=

3

，y0=

3

2

．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵a2=b2+3，P(1，

3

2

)在椭圆上，
∴

1

b2+3

+

3 4

b2

=1，故b2=1，a2=4，
∴椭圆方程为：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）①当l的斜率不存在时，l与x=-4无交点，
不合题意．
②当l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程

x2

4

+y2=1
化简得：（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．设点C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
则：

△＞0 x1+x2= -8k2 4k2+1 x1•x2= 4k2-4 4k2+1 .

，
∵-1=

x1+λ1x2

1+λ1

，-4=

x1+λ2x2

1+λ2

，
∴λ1=

-1-x1

x2+1

，λ2=

-4-x1

x2+4

，
λ1+λ2=-(

x1+1

x2+1

+

x1+4

x2+4

)=

-1

(x2+1)(x2+4)

[2x1x2+5(x1+x2)+8]
而2x1x2+5(x1+x2)+8=2•

4k2-4

4k2+1

+5•

-8k2

4k2+1

+8=

1

4k2+1

(8k2-8-40k2+32k2+8)=0，
∴λ₁+λ₂=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法和求证λ₁+λ₂=0．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用椭圆的性质，恰当地进行等价转化．