Question

15．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²在区间（1，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＜1恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，15]．

Answer 1

分析 首先，由$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（2，3）内任意两点连线的斜率小于1，从而得到f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x＜1在（2，3）内恒成立．分离参数后，转化成 a＜2x²+3x+1在（2，3）内恒成立．从而求解得到a的取值范围．

解答 解：∵$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$的几何意义为：
表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（1，2）内，故p+1 和q+1在区间（2，3）内．
不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＜1恒成立，
∴函数图象上在区间（2，3）内任意两点连线的斜率小于1，
故函数的导数小于1在（2，3）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x＜1 在（2，3）内恒成立．
即a＜2x²+3x+1在（2，3）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[2，3]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x²+3x+1在[2，3]上取最小值为15，
∴a≤15
则a的取值范围是（-∞，15]．
故答案为：（-∞，15]．

点评 本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题．