Question

（2013•山东）设函数f(x)=

x

e2x

+c(e=2.71828…，c∈R)．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则求出f^′（x），分别解出f^′（x）＞0与f^′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；
（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=-lnx-

x

e2x

-c，②当x≥1时，令v（x）=lnx-

x

e2x

-c．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．

解答：解：（1）∵f′(x)=

e2x-x•2e2x

(e2x)2

=

1-2x

e2x

，解f^′（x）＞0，得x＜

1

2

；解f^′（x）＜0，得x＞

1

2

．
∴函数f（x）的单调递增区间为(-∞，

1

2

)；单调递减区间为(

1

2

，+∞)．
故f（x）在x=

1

2

取得最大值，且f(x)max=

1

2e

+c．
（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：
①当0＜x≤1时，令u（x）=-lnx-

x

e2x

-c，
c=-lnx-

x

e2x

=g（x），
则g′(x)=-

1

x

-

1-2x

e2x

=-

e2x+x-2x2

xe2x

．
令h（x）=e^2x+x-2x²，则h^′（x）=2e^2x+1-4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e²-1．
∴g^′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．
∴c≥g(1)=-

1

e2

．
②当x≥1时，令v（x）=lnx-

x

e2x

-c，得到c=lnx-

x

e2x

=m（x），
则m′(x)=

1

x

-

1-2x

e2x

=

e2x+x(2x-1)

xe2x

＞0，
故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=-

1

e2

．
综上①②可知：当c＜-

1

e2

时，方程|lnx|=f（x）无实数根；
当c=-

1

e2

时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；
当c＞-

1

e2

时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．