Question

设x≥y≥z≥

π

12

，且x+y+z=

π

2

，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由x，y，z的大小关系，及x+y+z=

π

2

，得到x的范围，且用x表示出y+z，将所求式子后两项利用积化和差公式化简，再利用诱导公式变形，根据cosxsin（y-z）≥0，及余弦函数为减函数，利用特殊角的三角函数值化简，求出所求式子的最小值；同理将所求式子前两项结合，利用积化和差公式化简，再利用诱导公式变形，根据sin（x-y）≥0，cosz＞0，及余弦函数为减函数，即可求出所求式子的最大值．

解答：解：∵x≥y≥z≥

π

12

，且x+y+z=

π

2

，
∴

π

6

≤x≤

π

2

-

π

12

×2=

π

3

，y+z=

π

2

-x，
∵

π

6

≤x≤

π

3

，y≥z，
∴cosxsin（y-z）≥0，
∴cosxsinycosz
=cosx×

1

2

[sin（y+z）+sin（y-z）]
=cosx×

1

2

[cosx+sin（y-z）]
=

1

2

cos²x+

1

2

cosxsin（y-z）≥

1

2

cos²x═

1

2

cos²

π

3

=

1

8

，
当y=z=

π

12

，x=

π

3

时，cosxsinycosz取得最小值，最小值为

1

8

，
∵sin（x-y）≥0，cosz＞0，
∴cosxsinycosz
=cosz×

1

2

[sin（x+y）-sin（x-y）]
=

1

2

cos²z-

1

2

coszsin（x-y）≤

1

2

cos²z=

1+cos2z

4

=

1

4

（1+cos

π

6

）=

2+ 3

8

，
当x=y=

5π

12

，z=

π

12

时取得最大值，最大值为

2+ 3

8

．

点评：此题考查了积化和差公式，不等式的性质，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．