题目内容

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别是A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N．设 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（Ⅰ）试用 $数学公式$ 表示向量 $数学公式$ ；
（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，AB=AC=AA₁=1，求MN的长．．

解：（Ⅰ）由图形知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由题设条件
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由图形知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 再用 $\text{[math]}$ 表示出来即可
（Ⅱ）求MN的长，即求 $\text{[math]}$ ，利用求向量模的方法，求 $\text{[math]}$ 即可求得MN的长
点评：本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，解题的关键是掌握住向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用．理解并记忆熟练公式是解题的知识保证．

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在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B是边长为2的正方形，点C在平面AA₁B₁B上的射影H恰好为A₁B的中点，且CH=

，设D为CC₁中点，
（Ⅰ）求证：CC₁⊥平面A₁B₁D；
（Ⅱ）求DH与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图（2）．
（Ⅰ）图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）
（Ⅱ）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（Ⅲ）证明：A₁B∥平面ADC₁．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=

，M是棱CC₁的中点，
（1）求证：A₁B⊥AM；
（2）求直线AM与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

如图：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，AC=BC，点D、E分别为C₁C、AB的中点，O为A₁B与AB₁的交点．
（Ⅰ）求证：EC∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁BD．

如图所示，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC₁上。

（1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；

（2）当AB₁⊥MN时，求二面角M—AB₁—N的大小。