Question

 已知函数.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）当时，取得最小值.（2）的取值范围是.

解析:

先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值

的定义域为， …………1分  

   的导数.    ………………3分

令，解得；令，解得.

从而在单调递减，在单调递增.  ………………5分

所以，当时，取得最小值.       ………………………… 6分

（Ⅱ）解法一：令，则，        ……………………8分

① 若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即.…………………… 10分

② 若，方程的根为 ，

此时，若，则，故在该区间为减函数.

所以时，，

即，与题设相矛盾.           ……………………13分

综上，满足条件的的取值范围是.  ……………………………………14分

解法二：依题意，得在上恒成立，

即不等式对于恒成立 .    ……………………8分

令，   则.   ……………………10分

当时，因为，  

故是上的增函数，   所以 的最小值是， ……………… 13分

所以的取值范围是.   …………………………………………14分