Question

证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为

2

：1．

Answer 1

分析：因为正三棱柱，所以底面是正三角形，根据两个侧面的异面对角线互相垂直即可求得．

解答：证明：如图，以正三棱柱的顶点O为原点，棱OC、OB为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b，则A（

3

a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）．因为异面对角线OA⊥BC?

OA

•

BC

=0?（

3

a，a，b）•（0，2a，-b）=2a²-b²=0?b=

2

a，即2a：b=

2

：1，所以OA⊥BC的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为

2

：1．

点评：此题考查学生运用空间向量解决立体几何的能力．考查学生的空间想象能力和计算能力．