Question

已知椭圆C:的左，右焦点分别为，过 的直线L与椭圆C相交 A,B于两点，且直线L的倾斜角为，点到直线L的距离为 ，
(1)  求椭圆C的焦距.(2)如果求椭圆C的方程.(12分)

Answer 1

(1)焦距2c=4（2）椭圆C的方程为。

试题分析：(1)由点到直线的距离公式可求出c=2.从而得到焦距2c=4.
(2)  因为直线l过点F₂（2，0），可设直线L的方程为，它与椭圆的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，再利用韦达定理，得到y₁+y₂,y₁y₂,然后再利用,
得到,这三个式子结合可求出a,b.从而得到椭圆的方程.
(1)∵点到直线L的距离为，∴易得，∴c=2
∴焦距2c=4(5分).
（2）∵，又过 的直线L的倾斜角为，∴直线L的方程为，得设，，解得，
∵，∴，∴a="3," ∴.
椭圆C的方程为（12分）
点评：（1）本题涉及到点到直线的距离公式：则点P到直线l的距离.
（2）直线与圆锥曲线的位置关系问题一般要通过韦达定理及判别式来解决.