Question

已知函数f（x）=2x-π，g（x）=cosx．若x1∈[

π

4

，

3

4

π]且f（x_n+1）=g（x_n）．求证：|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+…+|xn-

π

2

|＜

π

2

．

Answer 1

由条件知：2x_n+1-π=cosx_n．当|x|≥

π

2

时，|x|≥1≥|sinx|，当|x|≤

π

2

时，|x|≥|sinx|，
∴x∈R时恒有|x|≥|sinx|．
故|xn+1-

π

2

|=

1

2

|cosxn|=

1

2

|sin(xn-

π

2

)|≤

1

2

|x_n-

π

2

|，
≤(

1

2

)n•|xn-1-

π

2

|≤…≤(

1

2

)n•|x₁-

π

2

|，
又x1∈[

π

4

，

3π

4

]，∴|x1-

π

2

|≤

π

4

．
∴|x1-

π

2

|+…+|xn-

π

2

|≤

π

4

+

π

4

•

1

2

++

π

4

•(

1

2

)n-1=

π

4

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

π

2

[1-(

1

2

)n]＜

π

2

．