Question

已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}满足条件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1），n∈N^﹡．
（Ⅰ）求证：数列{b_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）令c_n=

2n

an•an+1

，T_n是数列{c_n}的前n项和，求使T_n＞

2009

2010

成立的最小的n值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）整理递推式2b_n+1=b_n+1得b_n+1+1=2（b_n+1），进而推断出数列{b_n+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）根据（1）可求得数列}{b_n}的通项公式，进而求得a_n，代入c_n=

2n

an•an+1

求得数列{c_n}的通项公式，利用裂项法求得数列的前n项的和，结果1-

1

2n+1-1

进而根据T_n＞

2009

2010

求得n的范围，确定n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）证明：由题意得2b_n+1=b_n+1，
∴b_n+1+1=2b_n+2=2（b_n+1），
又∵a₁=2b₁+1，
∴b₁=0，b₁+1=1≠0，
所以数列{b_n+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（1）知，b_n+1=2^n-1，
∴a_n=2b_n+1=2ⁿ-1，
故cn=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

．
∴Tn=c1+c2+c3++cn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

．
由Tn＞

2009

2010

，且n∈N^*，解得满足条件的最小的n值为10．

点评：本题主要考查了等比关系的确定，数列的求和．数列的求和方法很多，如公式法，裂项法，错位相减法，平时应注意多积累．