题目内容

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2， $数学公式$ ，n=1，2，3，…．
（I）求证：a_n+1=a_n+ $数学公式$ ，（n=1，2，3…）
（II）求证： $数学公式$ ；
（III）令b_n= $数学公式$ ，（n=1，2，3，…），判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

解：（Ⅰ）由于a₁=1，a₂=2， $\text{[math]}$ ，易知对?n≥1，a_n≠0．
当n≥1时， $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，
从而 $\text{[math]}$ ，
依此递推可得 $\text{[math]}$ ，
从而 $\text{[math]}$ ，（n=1，2，3，）（4分）
（Ⅱ）显然，由a₁=1， $\text{[math]}$ 可知：?n≥1，a_n≥1成立，即 $\text{[math]}$ ，
当n≥2时， $\text{[math]}$ ，
故2＜a_n²-a_n-1²≤3，于是2＜a_n²-a_n-1²≤32＜a_n-1²-a_n-2²≤32＜a_n-2²-a_n-3²≤3
2＜a₃²-a₂²≤32＜a₂²-a₁²≤3
将经上各式相加得2（n-1）＜a_n²-a₁²≤3（n-1），
即得 $\text{[math]}$ ；（亦可用数学归纳法）（9分）
（Ⅲ） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，故b_n+1＜b_n．（13分）
分析：（Ⅰ）由题设知当n≥1时， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能够导出 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由a₁=1， $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，当n≥2时， $\text{[math]}$ ，上此入手能导出 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此知b_n+1＜b_n．
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．