题目内容

已知向量
a
=(cos
3x
4
，sin
3x
4
)，
b
=(cos(
x
4
+
π
3
)，-sin(
x
4
+
π
3
))
（1）令f（x）=（
a
+
b
）2，求f（x）解析式及单调递增区间．
（2）若x∈[-
π
6
，
5π
6
]，求函数f（x）的最大值和最小值．
分析：（1）由题意可得：
f(x)=
 2cos(x+
π
3
)+2，根据余弦函数的单调增区间可得：当2kπ-π≤x+
π
3
≤2kπ，k∈2，进而得到答案．
（2）由x∈[-
π
6
，
5π
6
]，得x+
π
3
∈[
π
6
，
7π
6
]，-1≤cos(x+
π
3
)≤
3
2
，再结合余弦函数的有关性质可得答案．
解答：解：（1）由题意可得：
f(x)=(
a
+
b
)2=
a
2+2
a
•
b
 +
b
2=1+2[cos
3x
4
cos(
x
4
+
π
3
)-sin
3x
4
sin(
x
4
+
π
3
)]+1
=2+2cos(x+
π
3
)

由余弦函数的单调增区间可得：
当2kπ-π≤x+
π
3
≤2kπ，k∈2，
即：2kπ-
4π
3
≤π≤2kπ-
π
3
，k∈Z时，f（x）单调递增，
∴f（x）增区间为：[2kπ-
4π
3
，2kπ-
π
2
]，k∈Z
（2）由x∈[-
π
6
，
5π
6
]，得x+
π
3
∈[
π
6
，
7π
6
]，
所以-1≤cos(x+
π
3
)≤
3
2
，
∴当x=-
π
6
时f（x）max=2+
3
，当x=
2π
3
时，f（x）min=0．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握有关的化简公式，以及三角函数的性质．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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