题目内容

已知椭圆C1和双曲线C2有公共焦点F1，F2，C1的离心率为e1，C2离心率为e2，P为C1与C2的一个公共点，且满足
1
e12
+
1
e22
=2，则
PF
1•
PF2
的值为（　　）
分析：根据椭圆、双曲线的定义，求得|PF1|2+|PF2|2，利用离心率及
1
e12
+
1
e22
=2，即可得到结论．
解答：解：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，焦距长为2c，
∴|PF1|+|PF2|=2a，||PF1|-|PF2||=2m
∴2（|PF1|2+|PF2|2）=4a2+4m2，
∴|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，
∵
1
e12
+
1
e22
=2
∴
a2
c2
+
m2
c2
=2
∴a2+m2=2c2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=|F1F2|2
∴PF1⊥PF2，
∴
PF
1•
PF2
=0
故选B．
点评：本题考查椭圆与双曲线的综合，考查椭圆、双曲线的定义与离心率，确定|PF1|2+|PF2|2的值是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O为原点），求k的取值范围．
（2013•安庆三模）已知焦点在x轴上的椭圆C1：
x2
a2
+
y2
12
=1和双曲线C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为（
4
10
5
，
6
5
5
），设直线l：y=kx+m（其中k，m为整数）．
（1）试求椭圆C1和双曲线C2 的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C1交于不同两点A、B，与双曲线C2交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量
AC
+
BD
=
0
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e，且b，e，
1
3
为等比数列，曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设双曲线C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的顶点和焦点分别是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C1和C2上的点，问是否存在A，B满足
OA
=
1
2
OB
．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．
已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O为原点），求k的范围．
（3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．

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