Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B﹣AB₁﹣M的大小；
（Ⅲ）求点C₁到平面AB₁M的距离．

Answer 1

（I）证明：连接A₁B，交AB₁于O，连接OM
因为直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，所以O是A₁B的中点。
因为O，M分别是A₁B和BC的中点，所以OM∥A₁C。
因为A₁C面AB₁M，OM面AB₁M
所以A₁C∥面AB₁M
（Ⅱ）解：过点M作MN⊥AB于N，连接ON
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴MN⊥平面ABB₁A₁，可知ON是OM在平面ABB₁A₁内的射影
又O是A₁B的中点，则OM⊥A1B，
∴AB₁⊥ON
故∠MON是二面角B﹣AB₁﹣M的平面角
∵CA=2，
∴，AB₁=2
∴
在直角△OMN中，
∴二面角B﹣AB₁﹣M的大小为30°；
（Ⅲ）解：设点C₁到平面AB₁M的距离为d，由=得．
∴
∴点C₁到平面AB₁M的距离为