Question

（2012•安徽模拟）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，DB∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点．
（1）求证：EF⊥平面BCD；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC中点G，连FG，AG．根据AE⊥面ABC，BD∥AE，可得BD⊥面ABC，从而BD⊥AG．进而可证AG⊥平面BCD．又可证四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，故EF⊥面BCD．
（2）设AB中点为H，则根据AE⊥面ABC，可得平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C-ABDE的高．从而可求四棱锥C-ABDE的体积．
（3）利用坐标表示点与向量，确定设平面CEF的法向量，平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：解：（1）取BC中点G点，连接AG，FG，如图1
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG?面ABC，所以BD⊥AG．
又AC=AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD=2，所以FG∥BD且FG=1，所以FG∥AE．
又AE=1，所以AE=FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD
（2）设AB中点为H，则由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=

3

2

，如图2
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C-ABDE的高．
故四棱锥C-ABDE的体积为V_C-ABDE=

1

3

S_ABDE•CH=

1

3

×

1+2

2

×1×

3

2

=

3

4

．…（8分）
（3）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则C（

3

2

，0，0），E（0，-

1

2

，1），F（

3

4

，

1

4

，1），∴

CE

=(-

3

2

，-

1

2

，1)，

CF

=(-

3

4

，

1

4

，1)
设平面CEF的法向量为

n

=(x，y，z)，由

CE

•

n

=-

3

2

x-

1

2

y+z=0，

CF

•

n

=-

3

4

x+

1

4

y+z=0，得

n

=(

3

，-1，1)
平面ABC的法向量为

n′

=（0，0，1）
∴cos＜

n

，

n′

＞=

n • n′

| n || n′ |

=

5

5

∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值

5

5

．

点评：本题以多面体为载体，考查线面垂直，考查几何体的体积，考查面面角，关键是利用向量的方法解决面面角，是一道综合题．