Question

8．已知命题p：“函数f（x）=ax+$\frac{1}{2}$lnx在区间[1，+∞）上单调递减”；命题q：“存在正数x，使得2^x（x-a）＜1成立”，若p∧q为真命题，则a的取值范围是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$]
• B． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• C． [-1，-$\frac{1}{2}$]
• D． [-1，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根据f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即可求出命题p为真命题时a的取值范围，而由命题q知$x-\frac{1}{{2}^{x}}＜a$在（0，+∞）上有解，通过求导可判断$x-\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，+∞）上单调递增，从而可以得出命题q为真命题时a的取值范围，再由p∧q为真命题知p，q都为真命题，从而对上面求的两个a的范围求交集即可得到答案．

解答 解：命题p：f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+1}{2x}$；
∵f（x）在[1，+∞）上单调递减；
∴2ax²+1≤0，即$a≤-\frac{1}{2{x}^{2}}$在[1，+∞）上恒成立；
x=1时，$-\frac{1}{2{x}^{2}}$在[1，+∞）上取最小值$-\frac{1}{2}$；
∴$a≤-\frac{1}{2}$；
命题q：2^x（x-a）＜1即$x-\frac{1}{{2}^{x}}＜a$在（0，+∞）上有解；
设g（x）=$x-\frac{1}{{2}^{x}}$，g′（x）=$1+\frac{ln2}{{2}^{x}}$＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴g（x）＞g（0）=-1，即$x-\frac{1}{{2}^{x}}＞-1$；
∴a＞-1；
∵p∧q为真命题；
∴p，q都为真命题；
∴-1$＜a≤-\frac{1}{2}$；
∴a的取值范围是（-1，$-\frac{1}{2}$]．
故选：A．

点评 考查函数的单调性和函数导数的关系，不等式在一个区间上恒成立和在该区间上有解的区别，函数单调性定义的运用，p∧q的真假和p，q真假的关系．