Question

【题目】已知正实数x，y，z满足x+y+z=1， + + =10，则xyz的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵x+y+z=1，∴z=1﹣（x+y），

∴ ，

即 =10，

设xy=a，x+y=b，则0＜a＜1，0＜b＜1，

∴ ，化简得a= ．

∴xyz=xy[1﹣（x+y）]=a（1﹣b）=（1﹣b） = ．

令f（b）= ，则f′（b）= ，

令f′（b）=0得﹣20b3+47b2﹣36b+9=0，即（4b﹣3）（5b﹣3）（1﹣b）=0，

解得b= 或b= 或b=1（舍），

∴当0＜b＜ 或 时，f′（b）＞0，

当 时，f′（b）＜0，

∴f（b）在（0， ）上单调递增，在（ ， ）上单调递减，在（ ，1）上单调递增，

∴当b= 时，f（b）取得极大值f（ ）= ．

又f（1）=0，

∴f（b）的最大值为 ．

所以答案是 ．

【考点精析】本题主要考查了平均值不等式的相关知识点，需要掌握平均不等式：,（当且仅当img src="https://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/02/23/17/02796764/SYS201802231706188599294481_DA/SYS201802231706188599294481_DA.015.png" width="37" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />时取号即调和平均几何平均算术平均平方平均）
才能正确解答此题．