题目内容
已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数，求ϕ和ω的值．
【答案】分析：由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点
对称可得函数关系
，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．
解答：解：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cos∅=0．
依题设0＜∅＜π，所以解得∅=
，
由f（x）的图象关于点M对称，
得
，
取x=0，得f（
）=sin（
）=cos
，
∴f（
）=sin（
）=cos
，
∴cos
=0，又w＞0，
得
=
+kπ，k=1，2，3，
∴ω=
（2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，ω=
，f（x）=sin（
）在[0，
]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω=
，f（x）=（
x+
）在[0，
]上不是单调函数；
所以，综合得ω=
或2．
点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．
对称可得函数关系
，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．解答：解：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cos∅=0．
依题设0＜∅＜π，所以解得∅=
，由f（x）的图象关于点M对称，
得
，取x=0，得f（
）=sin（
）=cos
，∴f（
）=sin（
）=cos
，∴cos
=0，又w＞0，得
=
+kπ，k=1，2，3，∴ω=
（2k+1），k=0，1，2，当k=0时，ω=
，f（x）=sin（
）在[0，
]上是减函数，满足题意；当k=2时，ω=
，f（x）=（
x+
）在[0，
]上不是单调函数；所以，综合得ω=
或2．点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．
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