Question

（2010•湖北模拟）若(1-

1

x2

)n(n∈N，n＞1)的展开式中x^-4的系数为a_n，则

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

2（1-

1

n

）

．

Answer 1

分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-4，求出r的值，即可求得x^-4的系数为a_n的解析式，再用裂项法求出

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

的值．

解答：解：由于(1-

1

x2

)n(n∈N，n＞1)的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•（-1）^r•x^-2r，令-2r=-4，可得 r=2，
中x^-4的系数为a_n =(-1)2•

C

2 n

=

n(n-1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n-1)

=2[

1

n-1

-

1

n

]．
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

]=2（1-

1

n

），
故答案为 2（1-

1

n

）．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，用裂项法进行数列求和，属于中档题．