Question

6．定义域为D的单调函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，满足当定义域为是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“可协调区间”；如果函数y=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）的一个可协调区间是[m，n]，则实数a的取值范围是（　　）

• A． -3＜a＜1
• B． -3＜a＜0
• C． 0＜a＜1
• D． a＜-3或a＞1

Answer 1

分析 利用导数可得f（x）在（-∞，0），（0，+∞）都是增函数，所以有f（m）=m，f（n）=n，即方程a²x²-（a²+a）x+1=0（a≠0）两个同号的互异实数根，再利用二次函数的性质求得a的范围．

解答 解：令y=f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0），可得f（x）的一个可协调区间是[m，n]，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
又[m，n]是函数f（x）的可协调区间，所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）．
又f′（x）=$\frac{1}{{a}^{2}{•x}^{2}}$＞0，x∈[m，n]，
所以f（x）在[m，n]上是增函数，
所以f（m）=m，f（n）=n，所以m，n是方程f（x）=x（a≠0），
即方程a²x²-（a²+a）x+1=0（a≠0）两个同号的互异实数根．
则只需$\left\{\begin{array}{l}{mn=\frac{1}{{a}^{2}}＞0}\\{△{={（a}^{2}+a）}^{2}-{4a}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解得a＞1或a＜-3，
故选：D．

点评 本题属于信息给予题，准确理解“可协调区间”是解题的关键，属于中档题．