Question

17．已知A，B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到直线x-y+2=0的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线AB过焦点F，且直线AD过原点O，求证：直线BD平行x轴．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，由点到直线的距离公式，解得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）求得抛物线的焦点和准线方程，设直线AB：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立抛物线方程，运用韦达定理，再设直线AD：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，求得D的坐标，通过B，D的纵坐标，即可得证．

解答 （1）解：抛物线C：y²=2px的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
由题意可得d=$\frac{|\frac{p}{2}-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得p=2，
即有抛物线方程为y²=4x；
（2）证明：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
准线方程为x=-1，
设直线AB：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立抛物线方程，可得y²-4ty-4=0，
即有y₁y₂=-4，
直线AD：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，
则有D（-1，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），
由于-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}}$=-$\frac{4}{{y}_{1}}$=y₂，
故直线BD平行x轴．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．