Question

已知函数f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中x∈R。
（1）设函数p（x）=f（x）+g（x）。若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；
（2）设函数，否存在k，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q'（x₂）=q'（x₁）成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）p（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，
P '（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5）
因为p（x）在（0，3）上不单调，
所以p'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由p'（x）=0，得k（2x+1）=-（3x²-2x+5）
即
令t=2x+1，有t∈（1，7），记
则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，
所以，h（t）∈[6，10）
于是
得k∈（-5，-2]
而当k=-2时，p'（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，
故舍去，所以k∈（-5，-2）。
（2）由题意，得当x<0时，
q'（x）=f'（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5
当x>0时，g'（x）=g'（x）=2k²x+k．
因为当k=0时不合题意，所以k≠0
下面讨论k≠0的情形
记A={g'（x）|x>0}，B={f'（x）|x<0}
则A=（k，+∞），B=（5，+∞）
（i）当x₁>0时，q'（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以要使q'（x₂）=q'（x₁）成立，只能x₂<0，且AB，因此k≥5；
（ii）当x₁<0时，q'（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以要使q'（x₂）=q'（x₁）成立，只能x₂>0，且BA，因此k≤5
综合（i）（ii），得k=5。
当k=5时，有A=B
则
即，使得q'（x₂）=q'（x₁）成立
因为q'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x₂是唯一的。
同理，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q'（x₂） =q'（x₁）成立
所以k=5满足题意。