Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，椭圆的两焦点关于直线y=x的对称点为F₁'（0，-c）、F₂'（0，c）．由点F₁'与F₂'都在椭圆的内部建立关于a、b、c的不等式，解出a＞

2

c，再利用椭圆离心率的公式加以计算，可得该椭圆的离心率范围．

解答：解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
∴两焦点关于直线y=x的对称点为F₁'（0，-c）、F₂'（0，c）．
∵点F₁'与F₂'都在椭圆的内部，
∴

02

a2

+

c2

b2

＜1，即

c2

a2-c2

＜1，解之得a＞

2

c，因此可得e=

c

a

＜

2

2

，
又∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴该椭圆的离心率e∈（0，

2

2

）．
故答案为：（0，

2

2

）

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的取值范围．着重考查了对称点的求法、点到椭圆的位置关系和椭圆的标准方程及其简单性质等知识，属于基础题．