题目内容

（1）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- $数学公式$ ．求动点P的轨迹方程．
（2） $数学公式$ 的离心率为2，原点到直线AB的距离为 $数学公式$ ，其中A（0，-b）、B（a，0）求该双曲线的标准方程．

解：（1）∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称，∴B（1，-1），
设点P的坐标为（x，y），则
∵直线AP与BP的斜率之积等于- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
化简可得x²+3y²=4（x≠±1）；
（2）∵e=2，∴ $\text{[math]}$ ，∴b²=3a²①
∵AB的方程为bx-ay-ab=0
∴由点到直线的距离公式可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②
联立①②，解得a²=1，b²=3
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出B的坐标，利用直线AP与BP的斜率之积等于- $\text{[math]}$ ，即可得到动点P的轨迹方程；
（2）利用离心率为2，原点到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，建立方程，即可求得轨迹方程．
点评：本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

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