Question

如图，P是抛物线C：y＝x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．

(1)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

(2)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求＋的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0．由y＝x2，①得＝x． 　　∴过点P的切线的斜率k切＝x1， 　　∴直线l的斜率k1＝－＝－， 　　∴直线l的方程为y－x12＝－(x－x1)， 　　方法一：联立①②消去y，得x2＋x－x12－2＝0． 　　∵M是PQ的中点，∴ 　　消去x1得y0＝x02＋＋1(x0≠0)， 　　∴PQ中点M的轨迹方程为y＝x2＋＋1(x≠0)． 　　方法二：由y1＝x12，y2＝x22，x0＝， 　　得y1－y2＝x22－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＝x0·(x1－x2)， 　　则x0＝＝k1＝－，∴x1＝－， 　　将上式代入②并整理，得y0＝x02＋＋1(x0≠0)， 　　∴PQ中点M的轨迹方程为y＝x2＋＋1(y≠0) 　　(2)设直线l：y＝kx＋b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)． 　　别过P、Q作⊥x轴，⊥y轴，垂足分别为、，则 　　＋＝＋＝＋． 　　由消去x，得y2－2(k2＋b)y＋b2＝0．　　③ 　　则 　　方法一：∴＋＝|b|(＋)≥2|b|＝2|b|＝2． 　　∵y1、y2可取一切不相等的正数， 　　∴＋的取值范围是(2，＋∞)． 　　方法二：∴＋＝|b|＝|b|． 　　当b＞0时，＋＝b＝＝＋2＞2； 　　当＜0时，＋＝－b＝． 　　又由方程③有两个相异实根，得Δ＝4(k2＋b)2－4b2＝4k2(k2＋2b)＞0， 　　于是k2＋2b＞0，即k2＞－2b． 　　所以＋＞＝2． 　　∵当b＞0时，可取一切正数，∴＋的取值范围是(2，＋∞)． 　　方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ＝kTQ， 　　即＝．则x1y2－bx1＝x2y1－bx2，即 　　b(x2－x1)＝(x2y1－x1y2)． 　　于是b＝＝－x1x2， 　　∴＋＝＋＝＋＝＋≥2． 　　∵可取一切不等于1的正数， 　　∴＋的取值范围是(2，＋∞)． 　　分析：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力．