Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1的焦点为F₁、F₂，在长轴A₁A₂上任取一点M，过M作垂直于A₁A₂的直线交椭圆于P，则使得

PF1

•

PF2

＜0的M点的概率为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2 6

  3

• C、

  6

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：当∠F₁PF₂=90°时，P点坐标为(±

2 6

3

，

3

3

)，由

PF1

•

PF2

＜0，得∠F₁PF₂≥90°．故

PF1

•

PF2

＜0的M点的概率．

解答：解：∵|A₁A₂|=2a=4，2c=2

3

，b=1，
设P（x₀，y₀），
∴当∠F₁PF₂=90°时，S△F1PF2=

1

2

×2

3

×y0=1× tan

90°

2

，
解得y0=

3

3

，把y0=

3

3

代入椭圆

x2

4

+y2=1得x0=±

2 6

3

．
由

PF1

•

PF2

＜0，得∠F₁PF₂≥90°．
∴结合题设条件可知使得

PF1

•

PF2

＜0的M点的概率=

2 6 3 -(- 2 6 3 )

2a

=

4 6 3

4

=

6

3

．
故选C．

点评：作出草图，数形结合，事半功倍．