Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜

π

2

)的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（　　）

• A、f（x）在(0，

  π

  2

  )单调递减
• B、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）单调递减
• C、f（x）在（0，

  π

  2

  ）单调递增
• D、f（x）在（

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ）单调递增

Answer 1

分析：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．

解答：解：由于f（x）=sin（ωx+?）+cos（ωx+?）=

2

sin(ωx+?+

π

4

)，
由于该函数的最小正周期为π=

2π

ω

，得出ω=2，
又根据f（-x）=f（x），以及|φ|＜

π

2

，得出φ=

π

4

．
因此，f（x）=

2

sin(2x+

π

2

)=

2

cos2x，
若x∈(0，

π

2

)，则2x∈（0，π），从而f（x）在(0，

π

2

)单调递减，
若x∈（

π

4

，

3π

4

），则2x∈（

π

2

，

3π

2

），
该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．
故选A．

点评：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．