Question

设函数f（x）=sin（2π+?）（-π＜?＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．就是x=

π

8

时函数取得最值，结合?的范围，求出?的值；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，直接求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）利用导数求出导函数的值域，从而证明直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．

解答：解：（Ⅰ）∵x=

π

8

是函数y=f（x）的图象的对称轴，
∴sin(2×

π

8

+?)=±1，∴

π

4

+π=kπ+

π

2

，k∈Z．
∵-π＜?＜0，?=-

3π

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知?=-

3π

4

，因此y=sin(2x-

3π

4

)．
由题意得2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
所以函数y=sin(2x-

3π

4

)的单调增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
（Ⅲ）证明：∵|y'|=|(sin(2x-

3π

4

))′|=|2cos(2x-

3π

4

)|≤2，
所以曲线y=f（x）的切线斜率取值范围为[-2，2]，
而直线5x-2y+c=0的斜率为

5

2

＞2，
所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-

3π

4

)的图象不相切．

点评：本小题主要考查三角函数性质及图象的基本知识，考查推理和运算能力．是综合题，常考题型．