Question

 

已知抛物线和直线没有公共点（其中、为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线恒过点.

   （1）求抛物线的方程；

   （2）已知点为原点，连结交抛物线于、两点，证明：.   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）如图，设，

        由，得    ∴的斜率为

        的方程为    同理得

        设代入上式得，

即，满足方程

故的方程为  即：   ………………4分

上式可化为，过交点

∵过交点，  ∴，

∴的方程为                ………………6分

（2）要证，即证………………7分

     设，

   则  ……（Ⅰ）

    

     ∵，

     ∴直线方程为，

与联立化简

     ∴ ……①     ……②  ………11分

     把①②代入（Ⅰ）式中，则分子

    

         …………（Ⅱ）

     又点在直线上，∴代入（Ⅱ）中得：                          

     ∴    

得证                            ………………………………14分