Question

【题目】已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．

（1）已知函数，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）已知函数＝和函数，若对任意，总存在，使得(x2)＝成立，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，值域为 （2）a＝

【解析】

(1)直接根据条件写出的单调区间，计算出的最值从而可求解出值域；

(2)将变形为，采用换元法根据已知条件求解出的值域，同时求解出的值域，根据两个函数的值域之间的关系列出不等式组，即可求解出的值.

（1）由已知可知：函数在上单调递减,在上单调递增，

所以，又，

所以，所以，

所以在的值域为；

（2）,

设，，，则，,

由已知性质得,当1≤u≤2，即0≤x≤时，单调递减,所以递减区间为；

当2<u≤3，即<x≤1时，单调递增，所以递增区间为；

由，得的值域为．

因为为减函数,故，．

根据题意：的值域为的值域的子集,

从而有，所以.