Question

（（本小题满分14分）

在数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1= (n∈N*)

(Ⅰ)求a_2,a_3,a_4;

(Ⅱ)猜想a_n，并用数学归纳法证明

(Ⅲ)若数列b_n= ，求数列{b_n}的前n项和s_n

 

Answer 1

【答案】

解答：（Ⅰ）∵a₁=1,a_n+1=

∴a₂= = ,a₃ = = ,a₄ = = .……………3分

(Ⅱ)猜想：a_n=。……………………………………………4分

下面用数学归纳法证明：

1°当n=1时,a₁==1,等式成立。…………………………………………5分

2°假设当n=k时，a_k=成立。……………………………………………6分

则n=k+1时,

a_k+1====

即n=k+1时,等式也成立, ……………………………………………9分

由数学归纳法知:a_n=对n∈N^*都成立。……………………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n===２[-]…………………………………11分

从而s_n=b₁+b₂+…+b_n

=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]=…………………………14分

【解析】略