Question

【题目】甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P		a	b

（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，

由题意知， ．

由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，

所以至少有一位学生做对该题的概率是 ．

（2）解：由题意知 ，

，

整理得 mn= ， ．

由m＞n，解得 ， ．

（3）解：由题意知 = ，

b=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）= ，

∴ξ的数学期望为Eξ= = ．

【解析】（1）利用“至少有一位学生做对该题”事件的对立事件的概率即可得出；（2）利用P（ξ=0）与P（ξ=3）的概率即可得出m，n；（3）利用（2）及 与b=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）即可得出a，b．