Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：，，（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{b_n}为等比数列．并求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，若对任意的n∈N*都有，求实数m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用数列递推式整理变形，利用等比数列的定义，可得数列{b_n}为等比数列，从而可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意的n∈N^*都有，等价于对任意的n∈N^*成立，由此可求实数m的最小值．
解答：（Ⅰ）证明：由已知得，…（2分）
∵，∴2b_n+1=b_n
∵，∴，
∴{b_n}为等比数列．…（4分）
所以，…（6分）
进而．…（7分）
（Ⅱ）解：=4•2ⁿ+1…（10分）
则对任意的n∈N^*成立． …（12分）
∵数列是递减数列，∴
∴m的最小值为． …（14分）
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查恒成立问题，正确求通项是关键．