Question

设函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）当a=1，b=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值．
（2）若f（x）为奇函数，求证：a²+b²=0；
（3）设常数b＜2

2

-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1，b=1代入可得，函数f（x）=x|x-1|+1．解之即可；
（2）由奇函数的定义可得-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，可得a²+b²=0；
（3）分类讨论：由b=2

2

-3＜0，当x=0时，a取任意实数不等式恒成立．当0＜x≤1时，f（x）＜0恒成立，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立．由函数的区间最值可得．

解答：解：（1）当a=1，b=1时，函数f（x）=x|x-1|+1．由x|x-1|+1=x，可解得x=1或x=-1
（2）若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴a²+b²=0
（3）由b=2

2

-3＜0，当x=0时，a取任意实数不等式恒成立．
当0＜x≤1时，f（x）＜0恒成立，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立．
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b，．
令h（x）=x-

b

x

，则h（x）在（0，

-b

上单调递减，[

-b

，+∞）单调递增
当b＜-1时，h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上单调递减；
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b，∴1+b＜a＜1-b．
而-1＜b＜2

2

-3时，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

．
∴a＜h_min（x）=2

-b

．
∴1+b＜a＜2

-b

．

点评：本题考查函数的综合应用，涉及函数的零点，奇偶性和单调性以及最值，属基础题．