Question

【题目】如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 是 的中点， 是 的中点， 是 中点.

（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 底面 ， ，试在 上找一点 ，使 平面 ，并证明此结论.

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 .

∵四边形 为矩形，
∴ 为 的中点.
又 为 的中点，∴ .
又 是 的中点， 是 中点，∴ ，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解： 的中点 即为所求的点.
证明如下：
连接 ，
∵ 为 的中点，∴ ， .
又 为 的中点，且四边形 为矩形，
∴ ， .
∴ ， .
∴四边形 为平行四边形，∴ .
∵平面 底面 ，平面 底面 ， 底面 ， ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ .∴ .
又∵ ， 是 的中点，∴ ，∴ .
又 平面 ， ，∴ 平面 .
PC 的中点 G 即为所求的点.
【解析】（1）证明线面平行的要点是在平面中找到一条与所证直线平行的直线;
（2）探索直线上一点使线面垂直，可先找到一点，再利用判定定理进行证明.