Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，f′（1）=0，曲线y=f（x）在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，有f（0）=c=0，利用在x=1处取得极值可知f′（1）=3+2a+b=0，再根据曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f′（0）=b，而直线y=2x+3到此切线所成的角为135°，根据到角公式可求得解得b=-3，从而可求函数的解析式；
（2）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立等价于|f（x）_max-f（x）_min|≤m，由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，从而可得m的最小值．

解答：解：（1）由题意有f（0）=c=0，f'（x）=3x²+2ax+b且f′（1）=3+2a+b=0
又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f′（0）=b，而直线y=2x+3到此切线所成的角为135°，
所以

2-b

1+2b

=-1②（4分）
联立①②解得a=0，b=-3
∴f（x）=x³-3x…．（6分）
（2）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立等价于|f（x）_max-f（x）_min|≤m（8分）
由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，而f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）	-2		2		-2		2

∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2
∴|f（x）_max-f（x）_min|=4≤m
∴m的最小值为4（12分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值、最值，考查恒成立问题，属于中档题．