Question

6．某大学在自主招生面试环节中．七位评委老师为陈小伟，李小明打出了分数，要求统计组、复核组依次打出的分数进行统计，复核组拿到了有两处污染的成绩单（成绩为40-100的整数）如表

考生姓名	评委01	评委02	评委03	评委04	评委05	评委06	评委07
陈小伟	99	70	85	84	8■	85	81
李小明	79	9■	84	84	86	84	87

（1）统计组使用茎叶图记录了两位同学的成绩，若评委05给陈小伟打出的分数为84分，评委02给李小明打出的分数为91分．请你结合两处污染的成绩单数据完成两位同学成绩的茎叶图1，并比较两位同学成绩的稳定性．
（2）若复合组将考生成绩去掉一个最高分和一个最低分，根据有两处污染的成绩单，你能否判断出两位同学平均水平的高低？
（3）该大学用系统抽样的方法抽取了n名学生的面试成绩，制作了如图2所示的频率分布直方图．
①已知图表中第四小组（即[70，80）内）的频数为15，求n的值；
②请你根据图表中的信息估计样本的众数，中位数，平均数（精确到0.01）
参考公式：假设样本数据是x₁，x₂，…x_n，$\overline{x}$，s分别表示这组数据的平均数和标准差，则：
s=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}+（{x}_{2}-\overline{x}）^{2}+…+（{x}_{n}-\overline{x}）^{2}}{n}}$．

Answer 1

分析 （1）画出茎叶图，计算平均数以及方差，从而判断李小明的成绩稳定；
（2）设评委05给学生陈小伟打出的分数为：80+m，分别求出其平均分，作差判断即可；
（3）（i）求出第四小组的频率，根据第四小组（即[70，80）内）的频数是15，求出n的值即可，（ii）设出中位数，得到估计值即可．

解答 解：（1）两位同学成绩的茎叶图如图所示：
，
$\overline{{x}_{陈}}$=$\frac{70+84+85+84+85+81+99}{7}$=84，
${\overline{x}}_{李}$=$\frac{79+84+84+86+84+87+91}{7}$=85，
故${s}_{{陈}_{\;}}$=$\sqrt{\frac{{（70-84）}^{2}+…{+（81-84）}^{2}{+（99-84）}^{2}}{7}}$=$\sqrt{\frac{432}{7}}$，
同理可得：s_李=$\sqrt{\frac{80}{7}}$，s_李＜s_陈，
故考生李小明的成绩较为稳定；
（2）设评委05给学生陈小伟打出的分数为：80+m，
（m∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}），
将考生成绩去掉一个最高分和一个最低分，
陈小伟的成绩数据分别为：85，84，80+m，85，81，
${\overline{x}}_{陈}$=$\frac{85+84+80+m+85+81}{5}$，
${\overline{x}}_{李}$=$\frac{84+84+86+84+87}{5}$，且${\overline{x}}_{陈}$-${\overline{x}}_{李}$=$\frac{m-10}{5}$，
又m∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
∴${\overline{x}}_{陈}$-${\overline{x}}_{李}$＜0，
故李小明同学的平均水平较高；
（3）（i）∵10×（0.004+0.006+0.016+0.020+0.024+x）=1，
解得：x=0.030，
第四小组的频率为：0.030×10=0.30，
又第四小组（即[70，80）内）的频数是15，
故$\frac{15}{n}$=0.30，解得：n=50；
（ii）由频率分布直方图可知[70，80）这一组对应的小长方形最高，估计众数是75，设中位数是（70+x），
则0.04+0.06+0.20+0.03x=0.5，解得：x≈6.67，
估计中位数是76.67，
45×0.04+55×0.06+65×0.20+75×0.30+85×0.24+95×0.16=76.20，
估计平均数是76.20．

点评 本题考查了平均数、标准差的计算，考查茎叶图、直方图的应用，是一道中档题．