Question

过点C（3，4）且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r₁，r₂，则r₁r₂=

25

．

Answer 1

分析：由题意得：满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设出圆心（a，a），根据切线的性质得到半径r=a，表示出圆的标准方程，由C在此圆上，将C的坐标代入圆的方程中，得到关于a的一元二次方程，根据r₁，r₂为此一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系即可得出r₁r₂的值．

解答：解：由题意得：满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，
设圆心坐标为（a，a），则半径r=a，
∴圆的方程为（x-a）²+（y-a）²=a²，
又C（3，4）在此圆上，
∴将C的坐标代入得：（3-a）²+（4-a）²=a²，
整理得：a²-14a+25=0，
∵r₁，r₂分别为a²-14a+25=0的两个解，
∴r₁r₂=25．
故答案为：25

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：切线的性质，以及韦达定理，根据题意满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，进而设出相应圆的标准方程是解本题的关键．