题目内容

0＜x＜

，当x= 时，y=

的最大值．

【答案】分析：令t=x（1-4x）=-4x²+x=-4（x-

）²+，则y=

，当x=

时，t有最大值为

，故所求式子最大值为

解答：解：因为函数t=x（1-4x）=-4x²+x=-4（x-

）²+

，
∴x=

时，t有最大值为：

，
∴y=

有最大值为：

点评：换元法，转化为求t的最大值，然后配方求t最大值，进而求出y的最大值．

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设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实常数），f（0）=1，g(x)=

．
（Ⅰ）若f（-2）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求g（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若h（x）=f（x）+kx不是[-2，2]上的单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设a＞0，m＞0，n＜0且m+n＞0，当f（x）为偶函数时，求证：g（m）+g（n）＜0．

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象过点（-2，1），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[-1，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）为偶函数，且

F（x）=求证：当mn＜0，m+n＞0，a＞0时，F（m）+F（n）＞0．

0＜x＜ $数学公式$ ，当x=时，y= $数学公式$ 的最大值．

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用的定义域是

由x>0及得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是

第二问中，若对任意不等式恒成立，问题等价于只需研究最值即可。

解：（I）的定义域是．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是．．．．．．．．4分

（II）若对任意不等式恒成立，

问题等价于，．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

故也是最小值点，所以；．．．．．．．．．．．．6分

当b<1时，；

当时，；

当b>2时，；．．．．．．．．．．．．8分

问题等价于．．．．．．．．11分

解得b<1 或或即，所以实数b的取值范围是