Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD=60°，PB=2$\sqrt{3}$，PA=ED=2AE=2．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）若二面角F-BE-C为30°，设$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{FC}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）证明PE⊥AD．利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABCD即可；
（2）以E为原点建立空间直角坐标系如图所示，求出相关点的坐标，平面BEF的法向量，平面BEC的法向量，利用空间向量的数量积列出方程，即可求解结果．

解答 解：（1）证明：因为AP=2，AE=1，∠PAD=60°，
所以$PE=\sqrt{3}$．
所以PE⊥AD．…2分
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD；　…4分
（2）由（1）及已知可得：PE、EA、EB两两垂直，EB=3，…5分
∴以E为原点建立空间直角坐标系如图所示，则
E（0，0，0）、B（0，3，0）、C（-2，3，0）、P（0，0，$\sqrt{3}$），
设F（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{FC}$
∴（x，y，z-$\sqrt{3}$）=-λ（x+2，y-3，z），
解得：$x=\frac{-2λ}{1+λ}$，$y=\frac{3λ}{1+λ}$，$z=\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ}$
∴$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{-2λ}{1+λ}$，$\frac{3λ}{1+λ}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ}$），$\overrightarrow{EB}$=（0，3，0），
…8分
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₀，y₀，z₀），则$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$=0，$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{EB}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}（{x_0}，{y_0}，{z_0}）•（\frac{-2λ}{1+λ}，\frac{3λ}{1+λ}，\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ}）=0\\（{x_0}，{y_0}，{z_0}）•（0，3，0）=0\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2λ}\\{y_0}=0\\{z_0}=1\end{array}\right.$
∴平面BEF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2λ}$，0，1）…10分
又　平面BEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）
∵二面角F-BE-C为30°，
∴|$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$|=|$\overrightarrow{{n}_{1}}$|•|$\overrightarrow{n}$|cos30°，
即　$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\sqrt{1+{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2λ}）}^2}}=1$
解得　$λ=\frac{3}{2}$． …12分．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及二面角的平面镜的求法，考查空间想象能力以及计算能力．