Question

已知函数f（x）=x²-2lnx
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x²-2x+2a的区间[

1

e

，e]上有两个相异实根，求实数a的取值范围（e是自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（I）由f′（x）=2x-2x，x＞0，知当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递增．由此能求出函数f（x）的单调区间．
（II）方程x²-2lnx=x²-2x+2a化为x-lnx-a=0，令g（x）=x-lnx-a，由g（x）的单调性，结合在[1，e]上单调递增f（x）=x²-2x+2a在[

1

e

，e]上有两个相异实根，由此能列出关于a的不等关系求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）定义域为(0，+∞)，f′(x)=2x-

2

x

∴x＞1时，f'（x）＞0；0＜x＜1时，f'（x）＜0
故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）
（Ⅱ）x²-2lnx=x²-2x+2a即：x-lnx-a=0令g（x）=x-lnx-a，
g′(x)=1-

1

x

所以

1

e

≤x＜1，g′(x)＜0，1＜x≤e，g′(x)＞0
∴g（x）在[

1

e

，1]单调递减，
在[1，e]上单调递增f（x）=x²-2x+2a在[

1

e

，e]上有两个相异实根
?

g( 1 e )≥0 g(1)＜0 g(e)≥0

?

a≤ 1 e +1 a＞1 a≤e-1

?a∈(1，

1

e

+1]

点评：本题考查导数的性质和应用、利用导数研究函数的单调性，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．