Question

过点Q（-2，

21

） 作圆C：x²+y²=r²（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4．
（1）求γ的值；
（2）设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y 轴于点B，设

OM

=

OA

+

OB

，求|

OM

|的最小值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）利用圆的切线的性质，结合勾股定理，可求r的值；
（2）设出直线方程，利用

OM

=

OA

+

OB

，表示出

OM

，求出模长，利用基本不等式即可求得结论．

解答：解：（1）圆C：x²+y²=r²（r＞0）的圆心为O（0，0），则
∵过点Q（-2，

21

） 作圆C：x²+y²=r²（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4
∴r=OD=

QO2-QD2

=

4+21-16

=3；
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，则A（a，0），B（0，b），
∵

OM

=

OA

+

OB

，∴

OM

=（a，b），∴|

OM

|=

a2+b2

∵直线l与圆C相切，∴

|-ab|

a2+b2

=3
∴3

a2+b2

=ab≤

a2+b2

2

∴a²+b²≥36
∴|

OM

|≥6
当且仅当a=b=3

2

时，|

OM

|的最小值为6．

点评：本题考查圆的切线的性质，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．